足球比赛中的概率问题美国数学邀请赛

下面介绍一道美国数学邀请赛的题目：

有七支球队进行足球锦标赛，每一个球队与其他各支球队都恰好比赛一场。每场球赛都分出胜负，每两队之间胜负的概率都是50%，没有平局，胜者得1分，负者得0分。每场比赛的结果都是相互独立的，以各队得分的总和排定各队的名次。若锦标赛第一轮A队胜B队，则比赛结束后，A队积分比B队高的概率是,其中m,n为互素的正整数，试求m n的值。

简单分析：目前A队积1分，B队0分，A队，B队不再相遇，并且接下来还要各进行5场比赛，可能的结果（样本容量）有=1024种，为满足A队积分高于B队，接下来5场比赛，B队至多和A队赢得相同的场次。

直接暴力求解，分六类：

1）A队赢0场，B队赢0场

2) A队赢1场，B队至多赢1场

3) A队赢2场，B队至多赢2场

4) A队赢3场，B队至多赢3场

5) A队赢4场，B队至多赢4场

6) A队赢5场，B队至多赢5场

综上，符合题意的可能种数：1 30 160 260 155 32=638,

（这里的m,n互素，意思是能约分的约分到最简分数，不然，m n不唯一，因为分母512只有因数2，而分子319没有因数2，不可再约）

所以m n=831.

综合分析：分两类，1）A队和B队赢得场次数相同。2）除1）外，或A队比B队赢得场次多，或B队比A队赢得场次数多，等可能性。

1）

2)

综合1）和2）252 386=638，剩下和分6类情况相同。

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